Kompenzace jalového výkonu
Měření kvality elektrické energie

+420 777 730 002

Harmonické frekvence a kompenzace

Teorie

Pro lepší pohled na řešení kompenzace a filtrace harmonických zde uvádíme analytický rozbor problému. Veškeré výpočty se provádějí v komplexním tvaru (tučně vytištěný symbol). Jedná se o vektory, které se skládjí z reálné a imaginární části označené symbolem “j”. Velikost zdánlivého proudu (vektoru) je dána geometrickým součtem všech složek jednotlivých harmonických a jeho absolutní hodnota se vypočítá podle vztahu:

I = [(I12+I22+I32+...+In2)]1/2

I = [I12+ ∑ ( Ih2)]1/2 kde h = 2, 3, ..., je řád harmonické

Fázový posun mezi vektorem napětí a proudu (pro jednoduchost položíme reálnou osu do směru fázoru napětí). Tak si definujeme fázový posun jako úhel mezi činnou a zdánlivou složkou proudu se nazývá faktorem výkonu (PF - z anglického "power factor"). V případě sinusových průběhů bez přítomnosti vyšších harmonických je roven účiníku (cos fí). Fluktuační výkon v tomto případě nazýváme jalový výkon a měří se v kvar. Induktivní jalový proud je fázově zpožděn o 90° oproti napětí.

Harmonické frekvence

V sítích s nelineárními spotřebiči, se mimo proudu základní harmonické I1 (50 Hz) vyskytují harmonické proudy jejichž frekvence je násobkem základního kmitočtu, a budeme je nazývat I2,I3, I4, ...atd. (druhá, třetí, čtvrtá, ... harmonická). Naproti tomu se dá při prvním přiblížení předpokládat, že napětí bude mít málo distorze (vzhledem k předpokládanému velkému zkratovému výkonu sítě - "tvrdý zdroj") a proto uvažujeme pouze jediné napětí základní harmonické o frekvenci 50 Hz:

U = U1 = U1

Zdánlivý výkon spotřebiče obdržíme součinem procházejícího proudu a napětí na jeho svorkách.

S = U * I = U1*I1*cos fí + j*U1*I1* sin fí + U1* (I2+I3+I4 + ...)

Z analýzy výše uvedeného vzorce vyplývá, že v sítích s obsahem vyšších harmonických se celkový zdánlivý výkon skládá ze třech složek:

  • Činný výkon U1*I1* cos fí - tento výraz nám určuje užitečný výkon
  • Jalový výkon:  U1*I1* sin fí - tento výraz odpovídá klasickému jalovému výkonu čistě sinusového průběhu a jak již bylo řečeno dříve, není spotřebováván a slouží k vytváření magnetických polí
  • Distorzní výkon:  U1* (I2+I3+I4+ ...) - tento výraz je výlučný pro distorzní systémy. Jedná se o fluktuační výkon, který se objevuje jako důsledek harmonických proudů

Ve skutečnosti i napětí obsahuje harmonické složky, které vytvoří prostor pro odpovídající výkon činný a jalový. V každém případě, činný výkon harmonických nevykonává užitečnou práci. Například u motoru, točivé pole k harmonickým frekvencím nevytváří využitelný pár, ačkoliv produkuje ztráty. Všeobecně, činné výkony harmonických se podílejí na vytváření ztrát, zahřívání vedení, vlastních spotřebičů a způsobují úbytky na vedeních.

V obvodech s vyššími harmonickými budeme nadále nazývat vztah mezi činným výkonem PČ a celkovým zdánlivým výkonem S jako faktor výkonu PF. V těchto případech je zřejmé, že PF již nesouhlasí s kosinem úhlu j, který tvoří základní složky napětí a proudu (cos fí se nerovná PF).

Důležitým závěrem tohoto je, že při stejném činném výkonu je celkový zdánlivý výkon výrazně vyšší v případě výskytu vyšších harmonických. Praktický důsledek tohoto jevu je, že při přenosu stejného činného výkonu v elektrickém obvodu s harmonickými teče větší zdánlivý proud a z těchto důvodů musíme dimenzovat komponenty přenosové soustavy na tento vyšší zdánlivý výkon. Z důvodu vyšší hodnoty zdánlivého proudu jsou zvýšené ztráty Joulovým teplem (ztráty v mědi) úměrné čtverci zdánlivého proudu:

PJ = Z * I2

a zvýší se i úbytek napětí, který je přímo úměrný jeho velikostí:  

ΔU = Z * I

Nejzávažnějším problémem jsou ale ztráty na transformátorech a ostatních spotřebičích s magnetickým obvodem:

  • ztráty v železe (PFe) se skládají ze: (B=m*H≈ I)
  • ztrát hysterezních v důsledku přemagnetizace PH ≈ f*B2max ≈ f*I2max
  • a ztrát vířivými proudy PV ≈ f2*B2max ≈ f2*I2max

Celkové ztráty v železe potom jsou : Pfe= PH + PV ; Pfe≈(1+1/f)*f2*I2max úměrné součinu čtverce frekvence a čtverce proudu.

TO NAPŘÍKLAD ZNAMENÁ ŽE, JEDEN AMPÉR PÁTÉ HARMONICKÉ ZPŮSOBUJE STEJNÉ ZTRÁTY VÍŘIVÝMI PROUDY, JAKO PĚT AMPÉR ZÁKLADNÍ FREKVENCE.

Jako typický příklad distorzního systému můžeme uvést třífázové polovodičové můstkové usměrňovače v šestipulzním zapojení, běžně užívané při regulaci motorů. Tento usměrňovač bude produkovat harmonické řádu:

h = k * p ± 1 kde: k … přirozené číslo

p … počet usměrňovacích ventilů

h = k * 6 ± 1

h = 5, 7, 11, 13, 17, 19, ….

Teoretické amplitudy harmonických proudů jsou nepřímo úměrné řádu harmonické, to znamená:

  • I5 = I1 / 5 (20,0%)
  • I7 = I1 / 7 (14,3%)
  • I11= I1 / 11 (9,1%)
  • I13 = I1 / 13 (7,7%)
  • I17 = I1 / 17 (5,9%)
  • I19 = I1 / 19 (5,3%)

V praxi se tyto hodnoty nepatrně liší podle impedance sítě.

Filtrační obvody

Proud se uzavírá cestou nejmenší impedance, a tak jsou nejvíce přetěžovány komponenty s kapacitním charakterem, neboť:

ZC = 1 / (j * ω* C) = -j / (2 * π * f * C)

Proto je nutné tyto chránit před nepříznivými účinky harmonických vkládáním induktivního prvku (tlumivky), jehož impedance naopak s rostoucím kmitočtem stoupá:

ZL = j * ω * L = j * 2 * π * f * L

Tím vznikne sériový rezonanční obvod, jehož kmitočet se ladí pod dominantní harmonickou. Tento obvod je charakterizován “činitelem zatlumení” (p v %), který odpovídá rezonančnímu kmitočtu podle vztahu:

p% = (f1 / fR)2 * 100

Pro 3. h. (150 Hz) to je zpravidla 134 Hz, 5. h. (250 Hz) to je zpravidla 189 Hz, protože zde se musí vzít v úvahu ještě vysílací kmitočet HDO (216 2/3 Hz) – viz. PNE 33 3430-6, od kterého musí být dostatečný odstup, aby obvod neodsával tónovou frekvenci vysílače. Tento LC obvod pak i částečně tuto dominantní harmonickou filtruje a tím snižuje celkové zkreslení napětí THD U (z anglického “total harmonic distortion”) mnohdy pod kompatibilní úroveň.

Vlastní indukčnost tlumivky se vypočítá ze vztahu při rezonanci, to je při stavu, kdy tento LC obvod má nulovou impedanci (Z = 0, R = 0 a C je kapacita transfigurovaná z trojúhelníkového zapojení do hvězdy C = 3*CN):

Z = R + j * (ZL + ZC) = 0

0 = j * (2 * π * fR * LN – 1 / (2 * π * fR * 3 * C))

LN = 1 / ((2 * π * fR)2 * 3 * CN)

Harmonické proudy vzniklé ve jmenovaných usměrňovačích mají za následek zvýšené ztráty Joulovým teplem (ztráty v Cu), které se blíží přibližně k 8% avšak ztráty vířivými proudy mohou dosáhnout až 62%.

Proto transformátory, které napájejí jmenované skupiny usměrňovačů, mají problémy se zahříváním, mnohem vyšším nežli by se dalo očekávat v případě, než když jsme počítali pouze s činnou složkou proudu, která jimi protéká. To vysvětluje skutečnost proč některé transformátory, které zásobují rektifikační skupiny, dosahují využití pouze z 50 - 70 % svého výkonu.